题目内容

直线y=kx+4分别于x轴、y轴相交于点A、B，O是坐标原点，A点的坐标为（4，0），P是OB上（O、B两点除外）的一点，过P作PC⊥y轴交直线AB于C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，设线段PC的长为l，点P的坐标为（0，m）
（1）求k的值；
（2）如果点P在线段OB（O、B两点除外）上移动，求l于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当点P运动到线段OB的中点时，四边形OPCD为正方形，将正方形OPCD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0＜a＜4），正方形OPCD于△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式．

解：（1）∵y=kx+4与x轴相交于点A，
∴将A点的坐标为（4，0），代入y=kx+4，得：
0=4k+4，
∴k=-1；

（2）由k=-1，可知一次函数解析式为：y=-x+4，

∴它与y轴的交点坐标为：（0，4），
∴OB=OA=4，
根据已知可画出图象，如图所示：
∵设线段PC的长为l，点P的坐标为（0，m），PC⊥y轴，
∴PC∥OA，
∴PC=BP，
∵PB=4-m，PC=L，
∴L=-m+4，
∵点P在线段OB（O、B两点除外）上移动
∴自变量的取值范围是：0＜m＜4，
∴L=-m+4（0＜m＜4），

（3）∵当点P运动到线段OB的中点时，四边形OPCD为正方形，
∴正方形OPCD边长为2，

∵将正方形OPCD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a，
∴D′E=D′A=4-2-a=2-a，
∴正方形OPCD于△AOB重叠部分的面积为：
S=正方形P′O′D′C′-S_△ED′A=4- $\text{[math]}$ D′E•AD′=4- $\text{[math]}$ （2-a）²=- $\text{[math]}$ -2a+2，
∴S与a的函数关系式为：S=- $\text{[math]}$ +2a+2．
分析：（1）将A点的坐标为（4，0），代入解析式即可求出k的值；
（2）求出图象与y轴的交点坐标，利用三角形的相似可以求出L与m的关系式；
（3）首先表示出D′E=D′A的长度，利用正方形面积减去S_△ED′A即可得出．
点评：此题主要考查了一次函数与坐标轴交点的求法，以及相似三角形的性质和三角形面积求法等知识，题目中得出OA=OB，利用三角形相似得出L与m的关系，这种相似形的应用题型是中考中热点问题．