Question

6．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是$\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BA}{EA}$，利用平行线的性质得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$；
（2）先利用勾股定理计算出AC=5，再利用（1）中的结论得到$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{BD}$，即$\frac{5}{3}$=$\frac{CD}{BD}$，则可计算出BD=$\frac{3}{2}$，然后利用勾股定理计算出AD=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，从而可得到△ABD的周长．

解答 （1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，
∵CE∥AD，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BA}{EA}$，∠2=∠ACE，∠1=∠E，
∵∠1=∠2，
∴∠ACE=∠E，
∴AE=AC，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$；
（2）解：如图3，∵AB=3，BC=4，∠ABC=90°，
∴AC=5，
∵AD平分∠BAC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{BD}$，即$\frac{5}{3}$=$\frac{CD}{BD}$，
∴BD=$\frac{3}{8}$BC=$\frac{3}{2}$，
∴AD=$\sqrt{B{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{3}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴△ABD的周长=$\frac{3}{2}$+3+$\frac{3\sqrt{5}}{2}$=$\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$．
故答案为$\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．