Question

2．如图，△PQR的外角∠PRN的平分线PM与内角∠PQR的平分线QM交于点M，∠QMR=40°，则∠RPM的度数为50°．

Answer 1

分析 先根据角平分线的性质及三角形外角的性质求出∠QPR的度数，再作MA⊥QN，MB⊥PR，MC⊥QP的延长线于点C，由角平分线的性质得出MA=MB，MA=MC，故MB=MC，即M在∠RPC的平分线上，由角平分线的性质可得出结论．

解答 解：∵△PQR的外角∠PRN的平分线PM与内角∠PQR的平分线QM交于点M，
∴∠MQR=$\frac{1}{2}$∠PQR，
∠MRN=∠QMR+∠MQR=$\frac{1}{2}$（∠QPR+∠PQR）=∠QMR+$\frac{1}{2}$∠PQR．
∴$\frac{1}{2}$∠QPR+$\frac{1}{2}$∠PQR=∠QMR+$\frac{1}{2}$∠PQR，
∴∠QPR=2∠QMR=80°．
作MA⊥QN，MB⊥PR，MC⊥QP的延长线于点C．
∵MR和MQ是∠平分线，
∴MA=MB，MA=MC，
∴MB=MC，
∴M在∠RPC的平分线上，
∴∠RPM=$\frac{180°-∠QPR}{2}$=$\frac{180°-80°}{2}$=50°．
故答案为：50°．

点评 本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线，利用角平分线的性质求解是解答此题的关键．