Question

13．已知等边三角形的边长为3，P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 作出图形，根据等边三角形的性质求出高AH的长，再根据三角形的面积公式求出点P到三边的距离之和等于高线的长度，从而得解．

解答 解：如图，∵等边三角形的边长为3，
∴高线AH=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$AB•PD+$\frac{1}{2}$BC•PE+$\frac{1}{2}$AC•PF，
∴$\frac{1}{2}$×3•AH=$\frac{1}{2}$×3•PD+$\frac{1}{2}$×3•PE+$\frac{1}{2}$×3•PF，
∴PD+PE+PF=AH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
即点P到三角形三边距离之和为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．