Question

10．如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E是边BC上的动点，连接AE，点F在线段AE上，连接BF，DF，且∠AFB=60°，AB=BD
（1）若AB=6，求四边形ABCD的面积；
（2）求证：AF=DF+BF．

Answer 1

分析 （1）如图1过B作BH⊥AD于H，证得△ABD是等边三角形，得到∠BAD=60°，求出BH=3$\sqrt{3}$，即可得到结果；
（2）如图2，在AE上截取FG=BF，连接BG得到△BGF是等边三角形，求出BG=BF=GF，∠1+∠2=∠2+∠3=60°，得到∠1=∠3，推出△ABG≌△BDG，得到AG=BF，即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，过B作BH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵AB=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=60°，
∴BH=3$\sqrt{3}$，
∴四边形ABCD的面积=AD•BH=6×$3\sqrt{3}$=18$\sqrt{3}$；

（2）如图2，在AE上截取FG=BF，连接BG，
∵∠AFB=60°，
∴△BGF是等边三角形，
∴BG=BF=GF，∠1+∠2=∠2+∠3=60°，
∴∠1=∠3，
在△ABG与△DFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BF}\\{∠1=∠3}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BDG，
∴AG=BF，
∴AF=AG+GF，
即AF=DF+BF．

点评 本题考查了菱形的性质，求菱形的面积，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．