Question

8．如图，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA₁⊥AB，垂足为A₁，再过A₁作A₁C₁⊥BC，垂足为C₁，过C₂作C₂A₂⊥AB，垂足为A₂，再过A₃作A₃C₃⊥BC，垂足为C₃，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA₁，A₁C₁，C₂A₂，…，则$\frac{{C}_{n-1}{A}_{n}}{{A}_{n}{C}_{n}}$=$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 由题意可知：CA₁∥C₁A₂∥…C_n-1A_n，所以△CA₁C₁∽△C₁A₂C₂∽…∽△C_n-1A_nC_n∽△ABC，可知$\frac{{C}_{n-1}{A}_{n}}{{A}_{n}{C}_{n}}$=$\frac{C{A}_{1}}{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{AB}{BC}$

解答 解：由题意可知：CA₁∥C₁A₂∥…C_n-1A_n
∴△CA₁C₁∽△C₁A₂C₂∽…∽△C_n-1A_nC_n∽△ABC
∴$\frac{{C}_{n-1}{A}_{n}}{{A}_{n}{C}_{n}}$=$\frac{C{A}_{1}}{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{AB}{BC}$
由勾股定理可知：AB=5，
∴$\frac{{C}_{n-1}{A}_{n}}{{A}_{n}{C}_{n}}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{5}{4}$
故答案为：$\frac{5}{4}$

点评 本题考查相似三角形的性质与判定，考查学生的化归思想，以及考查学生的观察能力．