Question

19．如图，已知直线y=x-4与x轴交于点A，直线y=ax+b也经过点A，且与y轴的正半轴交于点B，若∠1=105°，则直线AB的解析式为（　　）

• A． y=-$\frac{1}{2}$x+2
• B． y=$\frac{1}{2}$x+2
• C． y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 如图，直线y=x-4与y轴交于点C，先根据坐标轴上点的坐标特征求出C（0，-4），A（4，0），则可判断△OAC为等腰直角三角形，得到∠OAC=45°，则可计算出∠OAB=180°-∠OAC-∠1=30°，在Rt△OAB中利用锐角三角函数可计算出OB=4tan30°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，得到B（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），然后利用待定系数法求直线AB的解析式．

解答 解：如图，直线y=x-4与y轴交于点C，
当x=0时，y=x-4=-4，则C（0，-4）；当y=0时，x-4=0，解得x=4，则A（4，0），
∵OA=4，OC=4，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴∠OAC=45°，
∴∠OAB=180°-∠OAC-∠1=180°-45°-105°=30°，
在Rt△OAB中，∵tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$，
∴OB=4tan30°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴B（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（4，0），B（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$．
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故选D．

点评 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了等腰直角三角形的性质和锐角三角函数．