Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，AC=3，BC=4．
（1）求CD和AD的长；
（2）求证：AC是AD和AB的比例中项．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理得到AB，根据相似三角形的性质列比例式即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CD，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∵CD是斜边AB上的高，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∴AD=$\frac{A{C}^{2}}{AB}$=$\frac{9}{5}$，

（2）∵∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∴AC²=AD•AB，
∴AC是AD和AB的比例中项．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．