Question

8．如图，已知矩形ABCD中AB=2，AD=2$\sqrt{3}$，顶点B在y轴上，顶点C在x轴上移动．当矩形的外接圆与x轴相切时，点D的横坐标是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接BD、AC，根据矩形的性质和勾股定理求出BD的长，根据切线的性质和EC=CD=ED=2，求出∠DCH=30°，求出DH和CH，得到答案．

解答 解：连接BD、AC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=2$\sqrt{3}$，CD=AB=2，
由勾股定理得，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=4，
∵⊙E与x轴切于点C，
∴AC⊥x轴，
∵EC=ED=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴EC=CD=ED=2，
∴∠ECD=60°，∠DCH=30°，
∴DH=$\frac{1}{2}$CD=1，CH=$\sqrt{C{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵∠BCD=90°，∠DCH=30°，
∴BCD=60°，∠OBC=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴OH=2$\sqrt{3}$，
∴点D的横坐标为：2$\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是矩形的性质、坐标与图形的关系以及勾股定理的运用和切线的性质的应用，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．