Question

10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OA，因为点A在⊙O上，所以只要证明OA⊥AE即可；由同圆的半径相等得：OA=OD，则∠ODA=∠OAD，根据角平分线可知：∠OAD=∠EDA，所以EC∥OA，由此得OA⊥AE，则AE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F，证明四边形AOFE是矩形，得OF=AE=4cm，由垂径定理得：DF=3，根据勾股定理求半径OD的长．

解答 （1）证明：连结OA，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠EDA，
∴∠OAD=∠EDA，
∴EC∥OA，
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE，
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F，
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，
∴四边形AOFE是矩形，
∴OF=AE=4cm，
又∵OF⊥CD，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=3cm，
在Rt△ODF中，OD=$\sqrt{O{F^2}+D{F^2}}$=5cm，
即⊙O的半径为5cm．

点评 本题考查了切线的判定和性质，在判定一条直线为圆的切线时，分两种情况判定：①当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径即可，②当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，此题属于第二种情况：连接OA，是半径，证明垂直即可．