Question

19．给定关于x的二次函数y=kx²-4kx+3．
（1）当二次函数y=kx²-4kx+3与x轴只有一个公共点时，求k的值；
（2）由于k的变化，二次函数的图象、性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某学习小组在探究时得到以下结论
①与y轴的交点不变；
②抛物线的对称轴不变；
③开口向上时，抛物线的顶点在第四象限；
④抛物线一定经过两个定点．
请你判断以上结论是否正确，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由二次函数图象与x轴只有一个交点即可得出关于x的方程kx²-4kx+3=0有两个相等的实数根，结合根的判别式即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k值；
（2）①令x=0可求出y=3，由此即可得知①正确；②根据抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$，代入数据即可得知②正确；③由抛物线开口向上即可得出k＞0，结合抛物线的顶点坐标即可得知③不正确；④将二次函数看成y关于k的一次函数，令k的系数为0，由此即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，进而即可得知④正确．综上即可得出结论．

解答 解：（1）∵二次函数y=kx²-4kx+3与x轴只有一个公共点，
∴关于x的方程kx²-4kx+3=0有两个相等的实数根，
∴△=（-4k）²-4×3k=16k²-12k=0，
解得：k₁=0，k₂=$\frac{3}{4}$．
（2）①∵当x=0时，y=3，
∴二次函数图象与y轴的交点为（0，3），①正确；
②∵抛物线的对称轴为x=-$\frac{-4k}{2k}$=2，
∴抛物线的对称轴不变，②正确；
③当抛物线开口向上时，k＞0，
此时抛物线的顶点坐标为（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），即（2，3-4k），
∵当k＞0时，3-4k不一定恒为负，
∴开口向上时，抛物线的顶点在第一或第四象限，③错误；
④二次函数y=kx²-4kx+3=k（x²-4x）+3，将其看成y关于k的一次函数，
令k的系数为0，即x²-4x=0，
解得：x₁=0，x₂=4，
∴抛物线一定经过两个定点（0，3）和（4，3），④正确．
综上可知：正确的结论有①②④．

点评 本题考查了二次函数的性质以及二次函数与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．