Question

16．（1）化简$\frac{\sqrt{6}+4\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{（\sqrt{6}+\sqrt{3}）（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}$．
（2）设a=$\frac{16}{\sqrt{17}+1}$，求a⁵+2a⁴-17a³-a²+18a-17的值．

Answer 1

分析 （1）把分子化为（$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$）+（3$\sqrt{3}$+3$\sqrt{2}$），逆运用同分母分数的加法法则，再分母有理化．
（2）先化简a，然后变形多项式，再代入求值．

解答 解：（1）$\frac{\sqrt{6}+4\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{（\sqrt{6}+\sqrt{3}）（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}$
=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}+3\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{（\sqrt{6}+\sqrt{3}）（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}$
=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{（\sqrt{6}+\sqrt{3）（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}}+\frac{3（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}{（\sqrt{6}+\sqrt{3}）（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}$
=$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}$
=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$
=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$；
（2）∵a=$\frac{16}{\sqrt{17}+1}$=$\sqrt{17}$-1，
a⁵+2a⁴-17a³-a²+18a-17
=a⁵+2a⁴+a³-18a³-a²+18a-17
=a³（a+1）²-18a³-a²+18a-17
把a=$\sqrt{17}-1$代入，
原式=17a³-18a³-a²+18a-17
=-a³-a²+18a-17
=-a×（$\sqrt{17}-1$）²-a²+18a-17
=-18a+2$\sqrt{17}a$-a²+18a-17
=-a²+2$\sqrt{17}a$-17
=-（a-$\sqrt{17}$）²
当a=$\sqrt{17}-1$时，原式=-（-1）²=-1．

点评 本题考查了二次根式的化简．解决本题的关键是熟练利用运算法则．