Question

对某些正整数n，数2ⁿ和5ⁿ在十进制表示下首位数字相同．那么所有这样的首位数字为    ．

Answer 1

【答案】分析：首先把2ⁿ范围写出a×10^k＜2ⁿ＜（a+1）×10^k，同理写出a×10^l＜5ⁿ＜（a+1）×10^l，两式相乘可得a²×10^k+l＜10ⁿ＜（a+1）²×10^k+l，进一步求出a²＜10＜（a+1）²，于是求出a的值．
解答：解：a×10^k＜2ⁿ＜（a+1）×10^k，
a×10^l＜5ⁿ＜（a+1）×10^l，
将两式相乘，得a²×10^k+l＜10ⁿ＜（a+1）²×10^k+l…①，
注意到a²大于等于1，而（a+1）²小于等于100，于是
10^k+l＜10ⁿ＜10^k+l+2，故n=k+1+1，从而①式变为
a²＜10＜（a+1）²，
解得a=3．
故答案为3．
点评：本题主要考查整数问题的综合运用的知识点，解答本题的关键是找到2ⁿ和5ⁿ取值范围，此题有点难度．