Question

3．已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC，D为垂足，E是AB的中点，EF∥BC，交AC于点F，∠A=2∠C．
求证：DE=$\frac{1}{2}$AB．

Answer 1

分析 连接DE，根据直角三角形的性质得到DE=AE=$\frac{1}{2}$AB，根据平行线的性质和三角形的外角的性质得到DE=DF，证明结论．

解答 证明：连接DE，
∵BD⊥AC，E为AB的中点，
∴DE=AE=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠A=∠ADE，
∵EF∥BC，∠AFB=∠C，又∠A=2∠C，
∴∠ADE=2∠DFE，又∠ADE=∠DFE+∠DEF，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DF=DE，又DE=$\frac{1}{2}$AB，
∴DF=$\frac{1}{2}$AB．

点评 本题考查的是直角三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．