Question

某顾客有钱10元，第一次在商店买x件小商品花去y元，第二次再去买该小商品时，发现每打（12件）降价0.8元，他比第一次多买了10件，花去2元．问他第一次买的小商品是多少件？（x、y为正整数）

Answer 1

分析：列方程

y

x

-

2

x+10

=

0.8

12

，把问题转化为：y为何值时，方程x²+（40-15y）x-150y=0有正整数解，利用判别式可求得x=5，或x=50．

解答：解：根据题意列方程得，

y

x

-

2

x+10

=

0.8

12

，
整理得，x²+（40-15y）x-150y=0，
△=（40-15y）²-4×（-150y）=225y²-600y+1600=25（9y²-24y+64）
x=

15y-40± 25(9y2-24y+64)

2

因为x，y为正整数，所以△应是一个完全平方数，即9y²-24y+64是完全平方数，
根据题意知1≤y≤8的整数，而9y²-24y+64=（3y-4）²+48，只有y=1和y=5时才是完全平方数，
当y=1时，x=

15-40± 25×49

2

，x₁=5，x₂=-30（舍去）．
当y=5时，x=

15×5-40± 25×169

2

，x₃=50，x₄=-15（舍去）．
所以x=5或50．
答：他第一次买的商品是5件或50件．

点评：本题考查的是一元二次方程的整数根与有理根，根据题意列出方程，由x，y为正整数，利用一元二次方程根的判别式，先确定y的值，然后代入求根公式求出x的值．