Question

9．如图，在直角坐标系中，已知点A（0，4），B（-4，0），C（2，0），过A，B，C作外接圆，D为圆上一动点，求$\sqrt{5}$DO+DA的最小值．

Answer 1

分析 如图，设△ABC的外接圆的圆心为E连接EO并且延长交AC的延长线于F，连接DF．则E（-1，1）．首先证明△DEO∽△FED，得到$\frac{EO}{DE}$=$\frac{DO}{DF}$，推出DF=$\sqrt{5}$DO，所以$\sqrt{5}$DO+DA=DF+DA，由两边之和大于第三边得，DF+DA≥AF，推出当点D和点C重合时，DF+DA最小，即$\sqrt{5}$DO+DA最小，求出AF的长即可解决问题．

解答 解：如图，设△ABC的外接圆的圆心为E连接EO并且延长交AC的延长线于F，连接DF．则E（-1，1）．


∵A（0，4），B（-4，0），C（2，0），E（-1，1）
∴直线OE的解析式为y=-x，直线AC的解析式为y=-2x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=-2x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴F（4，-4），
∴DE=$\sqrt{10}$，EO=$\sqrt{2}$，EF=5$\sqrt{2}$，
∴$\frac{DE}{EO}$=$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{5}$，$\frac{EF}{DE}$=$\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{DE}{EO}$=$\frac{EF}{DE}$，∵∠E=∠E，
∴△DEO∽△FED，
∴$\frac{EO}{DE}$=$\frac{DO}{DF}$，
∴DF=$\sqrt{5}$DO，
∴$\sqrt{5}$DO+DA=DF+DA，由两边之和大于第三边得，DF+DA≥AF，
∴当点D和点C重合时，DF+DA最小，即$\sqrt{5}$DO+DA最小，
∴$\sqrt{5}$DO+DA最小值=AF=$\sqrt{{4}^{2}+（-4-4）^{2}}$=4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质，把问题转化为两点之间线段最短解决问题，题目比较难，掌握辅助线的添加方法是解题的关键，属于中考填空题中的压轴题．