题目内容
4．
在边长为4的正方形ABCD中，点O是正方形对角线的交点，动点P在射线BC上运动，过点C作线段DP的垂线，交线段DP于点M，交直线AB于点N，连结OP，ON．当点P在线段BC上运动时，如图1所示；当点P在线段BC的延长线上运动时，如图2所示．（1）选择图1证明：①BN=CP；②OP=ON，OP⊥ON．
（2）设BP=x，求以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．
分析 （1）根据正方形的性质得出DC=BC，∠DCB=∠CBN=90°，求出∠CPD=∠DCN=∠CNB，证△DCP≌△CBN，求出CP=BN，证△OBN≌△OCP，推出ON=OP，∠BON=∠COP，求出∠PON=∠COB即可；
（2）同法可证图2时，OP=ON，OP⊥ON，图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，代入求出即可；图2中，S四边形OBNP=S△POB+S△PBN，代入求出即可．
解答 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OC=OB，DC=BC，∠DCB=∠CBA=90°，∠OCB=∠OBA=45°，∠DOC=90°，DC∥AB，
∵DP⊥CN，
∴∠CMD=∠DOC=90°，
∴∠BCN+∠CPD=90°，∠PCN+∠DCN=90°，
∴∠CPD=∠CNB，
∵DC∥AB，
∴∠DCN=∠CNB=∠CPD，
∵在△DCP和△CBN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCB=∠CBN}\\{∠CPD=∠BNC}\\{DC=BC}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△CBN（AAS），
∴CP=BN，
∵在△OBN和△OCP中
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠OCP=∠OBN}\\{CP=BN}\end{array}\right.$，
∴△OBN≌△OCP（SAS），
∴ON=OP，∠BON=∠COP，
∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP，
即∠NOP=∠BOC=90°，
∴ON⊥OP，
即ON=OP，ON⊥OP．
（2）解：∵AB=4，四边形ABCD是正方形，
∴O到BC边的距离是2，
图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，
=$\frac{1}{2}$×（4-x）×2+$\frac{1}{2}$×x×2，
=4（0＜x≤4），
图2中，S四边形OBNP=S△POB+S△PBN
=$\frac{1}{2}$×x×2+$\frac{1}{2}$×（x-4）×x
=$\frac{1}{2}$x2-x（x＞4），
即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：$\left\{\begin{array}{l}{y=4（0＜x≤4）}\\{y={\frac{1}{2}x}^{2}-x（x＞4）}\end{array}\right.$．
点评 本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，分段函数等知识点的应用，解（1）小题的关键是能运用性质进行推理，解（2）的关键是求出符合条件的所有情况，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：证明过程类似．
| A． | x≥$\frac{1}{3}$ | B． | x＞$\frac{1}{3}$ | C． | x＞-$\frac{1}{3}$ | D． | x≥-$\frac{1}{3}$ |
如图，⊙O经过?OABC的顶点A、B、C，若OA=3，则$\widehat{AB}$的长为π（结果保留π）．
如图，已知抛物线y=mx2-6mx+5m与x轴交于A、B两点，以AB为直径的⊙P经过该抛物线的顶点C，直线l∥x轴，交该抛物线于M、N两点，交⊙P与E、F两点，若EF=2$\sqrt{3}$，则MN的长为（ ）| A． | 2$\sqrt{6}$ | B． | 4$\sqrt{2}$ | C． | 5 | D． | 6 |
如图，在⊙O中，AB=AC，BD为直径，弦AD与BC相交于点E，延长DA到F，使∠ABF=∠ABC．
如图，AD是∠CAB的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O，请问：
如图，⊙O的半径为2，OB=4，OB交⊙O于点D，点C是⊙O上一动点，以BC为边向下作等边△ABC．