Question

7．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3，OB=4，OC=5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：
①旋转角的度数；
②线段OD的长；
③∠BDC的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC=90°？请给出证明．

Answer 1

分析 （1）①根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=60°，再根据旋转的性质得∠OBD=∠ABC=60°，于是可确定旋转角的度数为60°；
②由旋转的性质得BO=BD，加上∠OBD=60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD=OB=4；
③由△BOD为等边三角形得到∠BDO=60°，再利用旋转的性质得CD=AO=3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC=90°，所以∠BDC=∠BDO+∠ODC=150°；
（2）根据旋转的性质得∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD，CD=AO，则可判断△OBD为等腰直角三角形，则OD=$\sqrt{2}$OB，然后根据勾股定理的逆定理，当CD²+OD²=OC²时，△OCD为直角三角形，∠ODC=90°．

解答 解：（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD=∠ABC=60°，
∴旋转角的度数为60°；
②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴BO=BD，
而∠OBD=60°，
∴△OBD为等边三角形；
∴OD=OB=4；
③∵△BOD为等边三角形，
∴∠BDO=60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴CD=AO=3，
在△OCD中，CD=3，OD=4，OC=5，
∵3²+4²=5²，
∴CD²+OD²=OC²，
∴△OCD为直角三角形，∠ODC=90°，
∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=60°+90°=150°；
（2）OA²+2OB²=OC²时，∠ODC=90°．理由如下：
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD，CD=AO，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴OD=$\sqrt{2}$OB，
∵当CD²+OD²=OC²时，△OCD为直角三角形，∠ODC=90°，
∴OA²+2OB²=OC²，
∴当OA、OB、OC满足OA²+2OB²=OC²时，∠ODC=90°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判断与性质和勾股定理的逆定理．