Question

1．已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，直线l与直线AC平行，分别与直线AD，AB，BD交于点 E，F，P．
（l）如图，当点P在O、B之间时，求证：PE+PF=AC；
（2）探究：在平移直线l的过程中，线段PE、PF、AC有何数量关系？直接写出相应的结论：
①当点P在O、D之间时，PE+PF=AC；
②当点P在BD延长线上时，PF-PE=AC；
③当点P在DB延长线上时，PE-PF=AC．
（3）若菱形的边长等于4，∠ABC=60°，且BP=$\sqrt{3}$，求BE的长．（（1）、（2）中的结论可以直接使用）

Answer 1

分析 （1）首先设直线l与BC交于点M，由菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，直线l与直线AC平行，易得四边形AEMC是平行四边形，△BPF≌△BPM，即可证得EM=AC，PF=PM，继而证得结论；
（2）①首先设直线l与CD交于点M，由菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，直线l与直线AC平行，易得四边形ACMF是平行四边形，△DPE≌△DPM，即可证得FM=AC，PE=PM，继而证得结论；
②首先设直线l与CD的延长线交于点M，由菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，直线l与直线AC平行，易得四边形ACMF是平行四边形，△DPE≌△DPM，即可证得FM=AC，PE=PM，继而证得结论；
③首先设直线l与CB的延长线交于点M，由菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，直线l与直线AC平行，易得四边形AEMC是平行四边形，△BPF≌△BPM，即可证得EM=AC，PF=PM，继而证得结论；
（3）首先由菱形的边长等于4，∠ABC=60°，且BP=$\sqrt{3}$，求得AC与PF的长，然后由图1与图4求得PE的长，再利用勾股定理，求得答案．

解答 （1）证明：如图1，设直线l与BC交于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AC⊥BD，∠ABD=∠CBD，
∵直线l与直线AC平行，
∴BD⊥直线l，四边形AEMC是平行四边形，
∴∠BPF=∠BPM=90°，EM=AC，
在△BPF和△BPM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBP=∠MBP}\\{BP=BP}\\{∠BPF=∠BPM}\end{array}\right.$，
∴△BPF≌△BPM（ASA），
∴PF=PM，
∴PE+PF=PE+PM=EM，
∴PE+PF=AC；

（2）解：①如图2：设直线l与CD交于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，
∵直线l与直线AC平行，
∴BD⊥直线l，四边形ACMF是平行四边形，
∴∠DPE=∠DPM=90°，FM=AC，
在△DPE和△DPM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPE=∠DPM}\\{DP=DP}\\{∠EDP=∠MDP}\end{array}\right.$，
∴△DPE≌△DPM（ASA），
∴PE=PM，
∴PE+PF=PF+PM=FM，
∴PE+PF=AC；

②如图3，设直线l与CD的延长线交于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，
∵直线l与直线AC平行，
∴BD⊥直线l，四边形ACMF是平行四边形，
∴∠DPE=∠DPM=90°，FM=AC，
∵∠MDP=∠CDB，∠EDP=∠ADB，
∴∠MDP=∠EDP，
在△DPE和△DPM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPE=∠DPM}\\{DP=DP}\\{∠EDP=∠MDP}\end{array}\right.$，
∴△DPE≌△DPM（ASA），
∴PE=PM，
∴PF-PE=PF-PM=FM，
∴PF-PE=AC；

③如图4，设直线l与CB的延长线交于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AC⊥BD，∠ABD=∠CBD，
∵直线l与直线AC平行，
∴BD⊥直线l，四边形AEMC是平行四边形，
∴∠BPF=∠BPM=90°，EM=AC，
∵∠PBM=∠CBD，∠PBF=∠ABD，
∴∠PBM=∠PBF，
在△BPF和△BPM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBP=∠MBP}\\{BP=BP}\\{∠BPF=∠BPM}\end{array}\right.$，
∴△BPF≌△BPM（ASA），
∴PF=PM，
∴PE-PF=PE-PM=EM，
∴PE-PF=AC；
故答案为：①PE+PF=AC；②PF-PE=AC；③PE-PF=AC；

（3）解：∵菱形的边长等于4，∠ABC=60°，
∴AB=AC=4，∠PBF=30°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，OB=AB•cos30°=2$\sqrt{3}$，
∵直线l⊥BD，BP=$\sqrt{3}$，
∴PF=BP•tan30°=1，
∴如图1：PE=AC-PF=4-1=3，则BE=$\sqrt{B{P}^{2}+P{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；
如图4：PE=AC+PF=4+1=5，则BE=$\sqrt{B{P}^{2}+P{E}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键．