Question

18．直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上．
（1）如图1，AB，CD交x轴于E，F，若AE=BE，DF=3CF，求证：FE=FB；
（2）如图2，C在x轴上，判断OB，OD的位置关系，加以证明？

Answer 1

分析 （1）先过点E作EG⊥CD于G，构造矩形BCGE，再根据AE=BE，DF=3CF，得出GF=CF，进而判定△BCF≌△EGF，得出FE=FB；
（2）根据A，O，B，C四点共圆，得出∠ABO=∠ACO，再根据A，O，C，D四点共圆，得出∠ACO=∠ADO，最后根据∠ABO=∠ADO，∠AED=∠OEB即可得出DO⊥BO．

解答 解：（1）过点E作EG⊥CD于G，则
∠EGC=∠C=∠EBC=90°，
∴四边形BCGE是矩形，
∴EG=BC，
∵AE=BE，
∴CG=$\frac{1}{2}$CD，
又∵DF=3CF，
∴CF=$\frac{1}{4}$CD，
∴GF=$\frac{1}{2}$CD-$\frac{1}{4}$CD=$\frac{1}{4}$CD，
∴CF=GF，
∴△BCF≌△EGF（SAS），
∴FE=FB；
（2）OB，OD的位置关系为：DO⊥BO
如图，连接AC，
∵∠CBA=∠COA=90°，
∴A，O，B，C四点共圆，
∴∠ABO=∠ACO，
∵∠AOC=∠ADC=90°，
∴A，O，C，D四点共圆，
∴∠ACO=∠ADO，
∴∠ABO=∠ADO，
又∵∠AED=∠OEB
∴∠DAB=∠DOB=90°，
∴DO⊥BO．

点评 本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是运用四点共圆得到角相等，解题时注意：四边形的一边同侧的两个顶角相等，那么这四点共圆．