Question

10．如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，且AB=$\sqrt{6}$，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD+CE=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 连接OC构建全等三角形，证明△ODC≌△OEB，得DC=BE；把CD+CE转化到同一条线段上，即求BC的长；通过等腰直角△ABC中斜边AB的长就可以求出BC=$\sqrt{3}$，则CD+CE=BC=$\sqrt{3}$．

解答 解：连接OC，
∵等腰直角△ABC中，AB=$\sqrt{6}$，
∴∠B=45°，
∴cos∠B=$\frac{BC}{AB}$，
∴BC=$\sqrt{6}$×cos45°=$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∵点O是AB的中点，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=OB，OC⊥AB，
∴∠COB=90°，
∵∠DOC+∠COE=90°，∠COE+∠EOB=90°，
∴∠DOC=∠EOB，
同理得∠ACO=∠B，
∴△ODC≌△OEB，
∴DC=BE，
∴CD+CE=BE+CE=BC=$\sqrt{3}$，
故选B．

点评 本题考查了全等三角形和等腰直角三角形的性质和判定，对于求线段的和或差时，想办法把线段利用相等关系放到同一条线段中去，再计算和或差；本题是利用三角形全等将CD转化为BE，使问题得以解决．