Question

1．在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，0），线段OA绕原点O沿逆时针方向旋转45°，并且每次的长度增加一倍，例如：OA₁=2OA，∠A₁OA=45°．按照这种规律变换下去，点A₂₀₁₇的纵坐标为2²⁰¹⁶•$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先根据点A坐标为（1，0），线段OA绕原点O沿逆时针方向旋转45°，并且每次的长度增加一倍，可得A₁，A₉，A₁₇，…，A₂₀₁₇都在第一象限，再根据A₁的纵坐标为$\frac{2}{\sqrt{2}}$，A₉的纵坐标为$\frac{{2}^{9}}{\sqrt{2}}$，可得A₂₀₁₇的纵坐标为$\frac{{2}^{2017}}{\sqrt{2}}$，化简即可．

解答 解：由题可得，360°÷45°=8，
∴A₁，A₉，A₁₇，…，A₂₀₁₇都在第一象限，
又∵OA₁=2OA=2，∠A₁OA=45°，
∴A₁的纵坐标为$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
同理可得，A₉的纵坐标为$\frac{{2}^{9}}{\sqrt{2}}$，
∴A₂₀₁₇的纵坐标为$\frac{{2}^{2017}}{\sqrt{2}}$=2²⁰¹⁶•$\sqrt{2}$．
故答案为：2²⁰¹⁶•$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了坐标与图形变化，旋转的性质以及点的坐标，解决问题的关键是根据变换的规律进行求解．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．