Question

已知，△ABC为等边三角形，点P是射线CM上一点，连接AP，把△ACP绕点A按顺时针方向旋转60°，得△ABD，直线BD与射线CM交于点E，连接AE．
（1）如图1，①求∠BEC的度数；②若AE=2BE，猜想线段CE、BE的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，若AE=mBE，求

CE

BE

的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,旋转的性质

专题：

分析：（1）①由题意可得△ACP≌△ABD，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵∠BCP+∠ACP=∠ACB，∴∠BCP+∠ABD=∠ACB=60°，∵∠BCP+∠ABD+∠ABC+∠BEC=180°，代入即可得出∠BEC=60°；②在EC上截取EF=EB，连结BF，可先证△EAB≌△FBC（SAS），由CF=AE=2BE，从而求得CE=CF+EF=3BE；
（2）由②证明可知CF=AE，可得AE=CF=mBE，∴CE=CF+EF=（m+1）BE，据此可求出比值．

解答：解：
（1）①∵△ACP旋转得到△ABD
∴△ACP≌△ABD
∴∠ACP=∠ABD
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵∠BCP+∠ACP=∠ACB
∴∠BCP+∠ABD=∠ACB=60°
∵∠BCP+∠ABD+∠ABC+∠BEC=180°
∴∠BEC=60°
②CE=3BE
在EC上截取EF=EB，连结BF
∵∠BEC=60°，EF=EB
∴△BEF是等边三角形
∴∠EBF=60°，EF=EB=BF
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=60°，AB=BC
∵∠EBF-∠ABF=∠EBA，∠ABC-∠ABF=∠FBC
在△EAB和△FBC中，

BA=BC ∠EBA=∠FBC BE=BF

∴△EAB≌△FBC（SAS）
∴CF=AE
∵AE=2BE
∴CF=2BE
∴CE=CF+EF=3BE
（2）由②证明可知CF=AE，
∵AE=mBE
∴CF=mBE
∴CE=CF+EF=（1-m）BE
∴

CE

BE

=1-m．

点评：本题考查了等边的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．