Question

如图所示，抛物线(m>0)的顶点为A，直线l：与y轴交点为B.

（1）写出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）证明点A在直线l上，并求∠OAB的度数；

（3）动点Q在抛物线对称轴上，问抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与⊿OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）对称轴：

           顶点:A()

(2)将 代入函数，得

  

∴点A()在直线l上.

当x=0时，y=- m ，∴B(0,-m)

tan∠OAB=，∴∠OAB=30°.

(3) 以点P、Q、A为顶点的三角形与⊿OAB全等共有以下四种情况：

①当∠AQP=90°，PQ=,AQ=m时,如图1，此时点P在y轴上，与点B重合，其坐标为（0，-m）,代入抛物线得

，∵m>0，∴m=

这时有-

其关于对称轴的对称点也满足条件.

②当∠AQP=90°，PQ=m,AQ=时

点P坐标为（）,代入抛物线得

，∵m>0，∴m=

这时有

还有关于对称轴的对称点.

③当∠APQ=90°，AP=,PQ=m时

点P坐标为（）,代入抛物线得

，∵m>0，∴m=2

这时有   还有关于对称轴的对称点.

④当∠APQ=90°，AP =m, PQ =时

点P坐标为（）,代入抛物线得

，∵m>0，∴m=

这时有                                                                      

还有关于对称轴对称的点.

所以当m=时，有点、；

当m=时，有点、；

当m=2时，有点、；

当m=时，有点、.