Question

2．△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）求证：AC=2FD．

Answer 1

分析 （1）由DE⊥BC，D是BC的中点，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，又由AD=AC，易得∠B=∠DCF，∠FDC=∠ACB，即可证得△ABC∽△FCD；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴BE=CE，
∴∠B=∠DCF，
∵AD=AC，
∴∠FDC=∠ACB，
∴△ABC∽△FCD；

（2）∵D是BC的中点，
∴BC=2CD，
∵△ABC∽△FCD，
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∴AC=2FD．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．