已知:如图.抛物线y=-$\frac{1}{4}$(x-h)2+k与x轴交于A.B.与y轴交于C.抛物线的顶点为D.对称轴交x轴于H.直线y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$经过点A与对称轴交于E.点E的纵坐标为3．(1)求h.k的值,(2)点P为第四象限抛物线上一点.连接PH.点Q为PH的中点.连接AQ.AP.设点P的横坐标为t.△AQP的面积为S.求S与t的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

已知：如图，抛物线y=-$\frac{1}{4}$（x-h）²+k与x轴交于A、B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于H，直线y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$经过点A与对称轴交于E，点E的纵坐标为3．
（1）求h、k的值；
（2）点P为第四象限抛物线上一点，连接PH，点Q为PH的中点，连接AQ、AP，设点P的横坐标为t，△AQP的面积为S，求S与t的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点Q作y轴的平行线QK，过点D作y轴的垂直DK，直线QK、DK交于点K，连接PK、EK，若2∠DKE+∠HPK=90°，求点P的横坐标．

分析（1）根据已知条件得到D点的横坐标是2，求得h=2把A（-2，0）代入y=-$\frac{1}{4}$（x-h）²+k得，即可得到结论；
（2）设P的横坐标为t，则纵坐标为-$\frac{1}{4}$t²+t+3，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（3）如图2，过P作x轴、y轴的平行线分别交DH，KQ于M，N，交直线DK于R，则四边形DKNM，四边形KNPR是矩形，设MN=m，得到DK=KR=m，求得P点的横坐标为2m+2，代入y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+4中得到P点的纵坐标为-m²+4根据三角函数的定义列方程即可得到结论．

解答解：（1）∵点E的纵坐标为3，
∴3=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$，
解得：x=2，
∴D点的横坐标是2，
∴h=2，
∵直线y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$经过点A，
∴A（-2，0）代入y=-$\frac{1}{4}$（x-h）²+k得，0=-$\frac{1}{4}$（-2-h）²+k，
∴k=4；
（2）如图1，设P的横坐标为t，则纵坐标为-$\frac{1}{4}$t²+t+3，
∵点Q为PH的中点，
∴S_△APQ=S_△AQH，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$S_△AHP，
∵S_△AHP=$\frac{1}{2}$AH（$\frac{1}{4}$t²-t-3），
∵AH=4，
∴S=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×4×（（$\frac{1}{4}$t²-t-3）=$\frac{1}{4}$t²-t-3（t＞6）；
（3）如图2，过P作x轴、y轴的平行线分别交DH，KQ于M，N，交直线DK于R，
则四边形DKNM，四边形KNPR是矩形，
设MN=m，
∴DK=KR=m，
∴P点的横坐标为2m+2，代入y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+4中，
得到P点的纵坐标为：-m²+4，∴DM=RP=m²，
∴tan∠DKE=$\frac{m}{{m}^{2}}$=$\frac{1}{m}$，
∴∠DKE=∠KPR，
∴EK⊥PK，
∵2∠DKE+∠HPK=90°，∠DKE=∠KPR，∠BHP+∠HPK+∠KPR=90°，
∴∠DKE=∠PHB，
∴tan∠DKE=tan∠PHB，
∴$\frac{1}{m}$=$\frac{{m}^{2}-4}{2m}$，
∴m=±$\sqrt{6}$（m=-$\sqrt{6}$舍去），
∴m=$\sqrt{6}$，
∴点P的横坐标为2+2$\sqrt{6}$．