Question

17．甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发2h后休息，与甲车相遇后，继续行驶．设甲，乙两车距B地的路程分别为y_甲（km），y_乙（km），甲车行驶的时间为x（h），y_甲，y_乙与x之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题：
（1）甲车的速度是80km/h，乙车休息了0.5h；
（2）求乙车与甲车相遇后y_乙关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当甲车出发多少小时后，两车相距80km？

Answer 1

分析 （1）根据速度=路程÷时间即可算出甲车的速度，再根据时间=路程÷速度可算出两车相遇的时间，减去2后即可得出结论；
（2）设乙车与甲车相遇后y_乙关于x的函数解析式为y_乙=kx+b（k≠0），观察图形找出点的坐标利用待定系数法即可得出结论；
（3）根据函数图象结合待定系数法求出y_甲，y_乙与x之间的函数解析式，分三段求出两车相距80km的时间，此题得解．

解答 解：（1）甲车的速度为：400÷5=80（km/h），
甲、乙两车相遇的时间为：（400-200）÷80=2.5（h），
乙车休息时间为：2.5-2=0.5（h）．
故答案为：80；0.5．
（2）设乙车与甲车相遇后y_乙关于x的函数解析式为y_乙=kx+b（k≠0），
将点（2.5，200）、（5，400）代入y_乙=kx+b中，得：
$\left\{\begin{array}{l}{200=2.5k+b}\\{400=5k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=80}\\{b=0}\end{array}\right.$．
∴乙车与甲车相遇后y_乙关于x的函数解析式为y_乙=80x（2.5≤x≤5）．
（3）当0≤x≤2时，乙车的速度为：200÷2=100（km/h），
∴y_乙=100x；
当2≤x≤2.5时，y_乙=200．
∴y_乙=$\left\{\begin{array}{l}{100x（0≤x≤2）}\\{200（2≤x≤2.5）}\\{80x（2.5≤x≤5）}\end{array}\right.$．
设y_甲与x之间的函数解析式为y_甲=mx+n（m≠0），
将（0，400）、（5，0）代入y_甲=mx+n中，得：
$\left\{\begin{array}{l}{n=400}\\{5m+n=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-80}\\{n=400}\end{array}\right.$，
∴y_甲与x之间的函数解析式为y_甲=-80x+400（0≤x≤5）．
当0≤x≤2时，令y_甲-y_乙=80，即-80x+400-100x=80，
解得：x=$\frac{16}{9}$；
当2≤x≤2.5时，令y_甲-y_乙=80，即-80x+400-200=80，
解得：x=$\frac{3}{2}$（舍去）；
当2.5≤x≤5时，令y_乙-y_甲=80，即80x-（-80x+400）=80，
解得：x=3．
综上可知：当甲车出发$\frac{16}{9}$小时或3小时后，两车相距80km．

点评 本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，观察图形找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．