题目内容
7．
南沙群岛自古以来就是中国的领土，但南沙群岛中只哟部分岛屿受中国的控制，赤瓜礁就是其中之一．以赤瓜礁为圆心，在周围12海里范围内均属于禁区，不允许他国船只进入．今有一中国海监船（记作A）正以14海里/小时的速度在位于赤瓜礁（记作B）北偏东15°的海域中巡逻，海监船上的值班人员发现在赤瓜礁的正东方向24海里有一艘外国渔船（记作C），其正以10海里/小时的速度沿正西方向驶向赤瓜礁，中方立即向外国渔船发出警告，此时外国渔船在中国海监船的南偏东30°的方向上，如图所示．（1）当外国渔船受到警告信号后，必须转向沿北偏西多少度航行，才能恰好避免进入赤瓜礁12海里禁区？
（2）求中国海监船与赤瓜礁之间的距离；（结果可以保留根号）
（3）在外国渔船受到警告信号后，向中方发出求救信号，并说明该渔船上有人需要急救，中方的医生恰好在中国海监船上，于是两船以最短距离相向而行，求该渔船上的病人经过多长时间后可以得到救助？（取$\sqrt{3}$≈1.73）
分析 （1）过点C作⊙B的切线CD，切点为D．连接BD，根据直角三角形的性质得到∠BCD=30°，得到答案；
（2）过点B作BE⊥AC，根据正弦的概念求出BE，根据余弦的概念求出AB；
（3）根据题意求出AC的长，根据速度、距离、时间的关系列式计算即可．
解答 解：（1）过点C作⊙B的切线CD，切点为D．连接BD，
则BD⊥CD．
由题意可得BC=24，BD=12，
∴在Rt△BCD中，∠BCD=30°，
∴必须转向沿北偏西60°航行，才能恰好避免进入赤瓜礁12海里禁区；
（2）过点B作BE⊥AC，交AC于点E．
由题意得，∠ACB=60°．
∵BE⊥AC，
∴∠CBE=30°，sin∠ACB=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵BC=24，
∴BE=12$\sqrt{3}$，
又∠ABC=75°，
∴∠ABE=45°，
∴AB=12$\sqrt{6}$，
∴中国海监船与赤瓜礁之间的距离为12$\sqrt{6}$海里；
（3）∵CE=12，AE=12$\sqrt{3}$，
∴AC=12+12$\sqrt{3}$≈32.76（海里）．
∵中国海监船的速度为14海里/小时，外国渔船的速度为10海里/小时，并且两船以最短距离相向航行，
∴32.76÷（14+10）=1.365（小时），
即该渔船上的病人经过1.365小时后可以得到救助．
点评 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
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| A． | 3$+2\sqrt{2}$ | B． | 3$-\sqrt{2}$ | C． | 17$+12\sqrt{2}$ | D． | 17-12$\sqrt{2}$ |
如图，正方形ABCD中，AB=4，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为2$\sqrt{10}$．