Question

如图，已知△ABC是等边三角形，BD是AC上的高线．作AE⊥AB于点A，交BD的延长线于点E．取BE的中点M，连结AM．
（1）求证：△AEM是等边三角形；
（2）若AE=1，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：等边三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）利用条件可求得∠E=60°且利用直角三角形的性质可得出ME=AM，可判定△AEM的形状；
（2）由条件利用勾股定理可求得AB和BD的长，可求出△ABC的面积．

解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高线，
∴∠ABD=30°，
∴∠E=60°，
∵点M是BE的中点，
∵AM=

1

2

BE=EM，
∴△AEM是等边三角形；
（2）∵AE=1，∠EAB=90°，
∴BE=2AE=2，
由勾股定理得：AB=

BE2-AE2

=

22-11

=

3

，
∴AD=

3

2

，
∴BD=

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

×

3

×

3

2

=

3 3

4

．

点评：本题主要考查等边三角形的判定和性质及勾股定理，掌握等边三角形的性质和判定是解题的关键．