Question

已知△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E在AC上，EF⊥AC交AB于F，连BE、CF、M、N分别为CF、BE的中点．
（1）如图1，则

MN

CE

=

1

2

，并说明理由；
（2）如图2，将△AEF绕点A顺时针旋转45゜，（1）中的结论是否成立？并加以证明．

Answer 1

分析：（1）延长EM，交BC于G，首先证明△CMG≌△FME，由全等三角形的性质可得：MG=ME，CG=EF，所以MN

1

2

=BG=

1

2

（BC-CG）=

1

2

（AC-AE）=

1

2

CE，即

MN

CE

=

1

2

，
（2）将△AEF绕点A顺时针旋转45゜，（1）中的结论仍旧成立，取CE中点G，连结MG、NG，通过证明△MNG∽△ECA，即可得到问题答案．

解答：解：（1）如图1，延长EM，交BC于G，
∵FE⊥BC，∠ACB=90°，
∴EF∥BC，
∴∠MCG=∠MFE，∠MGC=∠MEF，
又∵CM=FM，
∴△CMG≌△FME，
∴MG=ME，CG=EF，
又∵BN=EN，
∴NM=

1

2

BG，
∵∠EFA=∠A=45°，
∴AE=EF=CG，
又∵BC=AB，
∴MN

1

2

=BG=

1

2

（BC-CG）=

1

2

（AC-AE）=

1

2

CE，
即

MN

CE

=

1

2

，
故答案为

1

2

；

（2）将△AEF绕点A顺时针旋转45゜，（1）中的结论仍旧成立，
理由如下：
取CE中点G，连结MG、NG，
则MG=

1

2

EF=

1

2

AE，NG=

1

2

BC=

1

2

AC，
∵EF与BC所成角为45°，MG∥EF，
∴MG与BC所成角为45°，又∵NG∥BC，
∴∠NGM=45°=∠BAC，
又∵

MG

AE

=

NG

AC

=

1

2

，
∴△MNG∽△ECA，
∴

MN

CE

=

1

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、图形的旋转的性质以及相似三角形的判定和性质，题目的综合性很强，难度不小．