Question

8．在平面直角坐标系中，ABCD是正方形，且A（0，1）、B（2，0）．
（1）求C点的坐标．
（2）将正方形ABCD沿x轴的负方向平移，在第二象限内A、C两点的对应点A′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数的解析式与直线A′C′的解析式．
（3）在（2）的条件下，直线A′C′交y轴于点E．问是否存在x轴上的点F和反比例函数图象上的点G，使得四边形CEGF是平行四边形．如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先过点C作CF⊥x轴于点F，易证得△OAB≌△FBC（AAS），即可求得BF=OA=1，CF=OB=2，继而求得答案；
（2）首先设正方形ABCD沿x轴的负方向平移了a个单位长度，则A′（-a，1），C′（3-a，2），由在第二象限内A、C两点的对应点A′、C′正好落在某反比例函数图象上，可得方程：-a=2（3-a），继而求得a的值，即可求得点A′，C′的坐标，继而求得答案；
（3）首先设F的坐标为：（x，0），由四边形CEGF是平行四边形，根据平移的性质，可表示出点G的坐标，又由点G在反比例函数图象上，即可求得答案．

解答 解：（1）如图1，过点C作CF⊥x轴于点F，
则∠AOB=∠BFC=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠OBA+∠FBC=90°，∴∠OAB=∠FBC，
在△OAB和△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠FBC}\\{∠AOB=∠BFC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△OAB≌△FBC（AAS），
∴BF=OA=1，CF=OB=2，
∴OF=OB+BF=3，
∴C点的坐标为：（3，2）；

（2）设正方形ABCD沿x轴的负方向平移了a个单位长度，则A′（-a，1），C′（3-a，2），
∵在第二象限内A、C两点的对应点A′、C′正好落在某反比例函数图象上，
∴-a=2（3-a），
解得：a=6，
∴A′（-6，1），C′（-3，2），
∴这个反比例函数的解析式为：y=-$\frac{6}{x}$；
设直线A′C′的解析式为：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=1}\\{-3k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线A′C′的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x+3；

（3）存在．
如图2，∵直线A′C′交y轴于点E，
∴E的坐标为：（0，3），
设F的坐标为：（x，0），
∵四边形CEGF是平行四边形，
∴EG是由CF先向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度得到，
∴G的坐标为：（x-3，1），
∵G在反比例函数图象上，
∴1=-$\frac{6}{x-3}$，
解得：x=-3，
∴点F的坐标为：（-3，0）．

点评 此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求函数解析式的知识、平移的性质、正方形的性质以及平行四边形的性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．