Question

4．如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．
（1）当点D在BC的什么位置时，DE=DF？并证明；
（2）过点C作AB边上的高CG，试猜想DE，DF，CG的长之间存在怎样的等量关系？（直接写出你的结论）

Answer 1

分析 （1）根据AAS证△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质推出即可；
（2）连接AD，根据三角形的面积公式求出即可．

解答 解：（1）当点D在BC的中点上时，DE=DF，
证明：∵D为BC中点，
∴BD=CD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
∵在△BED和△CFD中$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠DEB=∠DFC}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF．

（2）CG=DE+DF
证明：连接AD，
∵S_三角形ABC=S_三角形ADB+S_三角形ADC，
∴$\frac{1}{2}$AB×CG=$\frac{1}{2}$AB×DE+$\frac{1}{2}$AC×DF，
∵AB=AC，
∴CG=DE+DF．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力