Question

求出分母是111的最简真分数的和．

Answer 1

分析：根据111的因数的3和37，则不是最简分数，且分母是111的真分数，分子一定是3或37的整数倍，求出分子是3的倍数的，分母是111的所有真分数的和，分子是37的倍数的，分母是111的所有真分数的和以及分母是111的所有真分数的和即可求解．

解答：解：∵111=3×37
分子是3的倍数的，分母是111的所有真分数的和是：

3

111

+

2×3

111

+…+

36×3

111

=3×（

1+2+…+36

111

）=18；
分子是37的倍数的，分母是111的所有真分数的和是：

37

111

+

37×2

111

=

111

111

=1
分母是111的所有真分数的和是：

1

111

+

2

111

+…+

110

111

=

1 2 ×111×110

111

=55．
则分母是111的最简真分数的和是：55-18-1=36．

点评：本题主要考查了容斥原理，正确理解不是最简分数，且分母是111的真分数，分子一定是3或37的整数倍是解决本题的关键．