Question

已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长．

Answer 1

分析：作AF⊥BC，垂足为F，并延长交DE于H点．根据其轴对称性，则圆心必定在AH上．设其圆心是O，连接OD，OE．根据等边三角形的性质和正方形的性质，可以求得AH，DH的长，设圆的半径是r．在直角三角形BOH中，根据勾股定理列方程求解．

解答：解：
如图2，作AF⊥BC，垂足为F，并延长AF交DE于H点．（1分）
∵△ABC为等边三角形，
∴AF垂直平分BC，
∵四边形BDEC为正方形，
∴AH垂直平分正方形的边DE．（3分）
又∵DE是圆的弦，
∴AH必过圆心，记圆心为O点，并设⊙O的半径为r．
在Rt△ABF中，
∵∠BAF=30°，
∴AF=AB•cos30°=2×

3

2

=

3

．
∴OH=AF+FH-OA=

3

+2-r．（5分）
在Rt△ODH中，OH²+DH²=OD²．
∴（2+

3

-r）²+1²=r²．
解得r=2．（7分）
∴该圆的半径长为2．（8分）

点评：熟练运用等边三角形的性质、正方形的性质以及勾股定理．