Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，AD=1，求△ABC的周长与面积．

Answer 1

考点：角平分线的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：过点D作DE⊥BC于点D，根据CD平分∠ACB，AD=1可得出DE=AD=1，再由在△ABC中，∠A=90°，AB=AC可知∠B=45°，故△BDE是等腰直角三角形，由勾股定理求出BD的长，进而可得出AB的长，再求出BC的长即可得出结论．

解答：解：过点D作DE⊥BC于点D，
∵CD平分∠ACB，AD=1，
∴DE=AD=1．
∵△ABC中，∠A=90°，AB=AC，
∴∠B=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=BE=1，
∴BD=

DE2+BE2

=

12+12

=

2

，
∴AB=AC=AD+BD=1+

2

，
∴BC=

AB2+AC2

=

(1+ 2 )2+(1+ 2 )2

=2+

2

，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=（1+

2

）+（1+

2

）+（2+

2

）=4+3

2

．
S_△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

（1+

2

）（1+

2

）=

3

2

+

2

．

点评：本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．