Question

联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念。

定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。

举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心。

应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数。

探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长。

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理。

解答：应用：解：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，

∵CD为等边三角形的高，

∴AD=BD，∠PCB=30°，

∴∠PBD=∠PBC=30°，

∴PD=DB=AB，

与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC，

②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC，

③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，

∴∠APD=45°，

故∠APB=90°；

探究：解：∵BC=5，AB=3，

∴AC=，

①若PB=PC，设PA=x，则，

∴，即PA=，

②若PA=PC，则PA=2，

③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能。

故PA=2或。