Question

19．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是BC边、AB边上的点，且BE=CD，连接AD、CE交于点F，过A作AH⊥CE于H，
（1）求证：∠BCE=∠CAD；
（2）直接写出∠CFD的度数；并写出线段AF与线段HF的数量关系．（无需解答过程）

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等边三角形，于是得到AB=AC=BC，∠B=∠ACD=60°，证得△BCE≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由（1）证得∠BCE=∠CAD，于是推出∠DAC+∠ACF=60°，根据外角的性质得到∠CFD=∠DAC+∠ACF，于是得到∠CFD=60°，根据直角三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠ACD=60°，
在△BCE与△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠B}\\{CD=BE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD，
∴∠BCE=∠CAD；

（2）∠CFD=60°，AF=2HF，
∵∠BCE=∠CAD，∠ACF+∠CAF=60°，
∴∠DAC+∠ACF=60°，
∵∠CFD=∠DAC+∠ACF，
∴∠CFD=60°，
∵AH⊥CE，
∴∠HAF=30°，
∴AF=2HF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．