Question

16．【定义】已知P为△ABC所在平面内一点，连接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，若存在一个三角形与△ABC相似（全等除外），那么就称P为△ABC的“共相似点”，根据“共相似点”是否落在三角形的内部，边上或外部，可将其分为“内共相似点”，“边共相似点”或“外共相似点”．
（1）据定义可知，等边三角形不存在（填“存在”或“不存在”）共相似点．
【探究1】用边共相似点探究三角形的形状
（2）如图1，若△ABC的一个边共相似点P与其对角顶点B的连线，将△ABC分割成的两个三角形恰与原三角形均相似，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【探究2】用内共相似点探究三角形的内角关系
（3）如图2，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，高线CD与角平分线BE交于点P，若P是△ABC的一个内共相似点，试说明点E是△ABC的边共相似点，并直接写出∠A的度数．
【探究3】探究直角三角形共相似点的个数
（4）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=$\sqrt{3}$，若△PBC与△ABC相似，则满足条件的P点共有8个，顺次连接所有满足条件的P点而围成的多边形的周长为6+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据“共相似点”的定义容易得出结论．
（2）根据题意得：△ABP∽△ACB，由相似三角形的性质得出∠ABP=∠C，同理得：∠CBP=∠A，得出∠ABC=∠A+∠C=180°-∠ABC，求出∠ABC=90°即可；
（3）根据题意得：△PBC∽△CAB，由相似三角形的性质得出∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，再由角平分线角平分线定义得出∠A=∠ABE=∠PBC，证出△BEC∽△ABC，得出点E是△ABC的边共相似点；由直角三角形的性质得出∠PCB+∠ABC=90°，得出2∠A+2∠A=90°，求出∠A=22.5°；
（4）通过作图得出△ABC的“共相似点”共有8个，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质得：顺次连接所有满足条件的P点而围成的多边形的周长为6+$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）根据“共相似点”的定义得：等边三角形不存在共相似点．
故答案为：不存在；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
根据题意得：△ABP∽△ACB，
∴∠ABP=∠C，
同理得：∠CBP=∠A，
∴∠ABC=∠A+∠C=180°-∠ABC，
解得：∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）根据题意得：△PBC∽△CAB，
∴∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠PBC，
∴∠A=∠ABE=∠PBC，
∴∠PCB=∠ABC=2∠A=2∠PBC，
∵∠BCE=∠ACB，∠PBC=∠A，
∴△BEC∽△ABC，
∴点E是△ABC的边共相似点；
∵CD是△ABC的高，
∴∠CDB=90°，
∴∠PCB+∠ABC=90°，
∴2∠A+2∠A=90°，
解得：∠A=22.5°；
（4）作CP⊥AB于P，则P为△ABC的“共相似点”；
过B作BC的垂线与CP的延长线的交点是△ABC的“共相似点”；
作∠ABC的平分线与AC的交点P₁是△ABC的“共相似点”；
过C作BP₁的垂线，垂足是△ABC的“共相似点”；
同理：以上四个△ABC的“共相似点”关于直线BC的对称点是△ABC的“共相似点”；
∴△ABC的“共相似点”共有8个，如图所示：
根据等边三角形的性质和直角三角形的性质得：顺次连接所有满足条件的P点而围成的多边形的周长为 2×2+4×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6+$\sqrt{3}$；
故答案为：8；6+$\sqrt{3}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；理解“共相似点”定义，证明三角形相似是解决问题的关键．