Question

10．已知，如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，点E在BC上，∠CDE=∠C，点P在CD上，PF⊥DE、PG⊥BC，点F、G为垂足，求证．PF+PG=AB．

Answer 1

分析 连接PE，把△CED分成△DEP和△CEP两个三角形，然后利用三角形的面积列式进行计算即可得证．

解答 证明：作DM⊥BC于M，连接PE．
∵AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，∵∠B=90°，
∴∠A=∠B=∠DMB=90°，
∴四边形ABMD是矩形，
∴AB=DM，
∵DE=EC，PF⊥DE，PG⊥EC，
∴S_△CDE=S_△DEP+S_△CEP
=$\frac{1}{2}$DE•PF+$\frac{1}{2}$EC•PG
=$\frac{1}{2}$EC•（PF+PG），
又∵S_△CDE=$\frac{1}{2}$EC•DM=$\frac{1}{2}$EC•AB，
∴$\frac{1}{2}$EC•（PF+PG）=$\frac{1}{2}$EC•AB，
∴PF+PG=AB．

点评 本题考查了矩形的性质，三角形的面积，解题的关键是学会添加作辅助线，学会利用三角形的面积的两种表示方法解决问题，属于中考常考题型．