Question

20．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABC=30°，点E是AB边的中点，点M是BC边上的动点，连接ME并延长交DA的延长线于点N．
（1）求证：四边形AMBN是平行四边形；
（2）填空：①当BM=3$\sqrt{3}$时，四边形AMBN是矩形；
②当BM=2$\sqrt{3}$时，四边形AMBN是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
（2）①结论：当BM=3$\sqrt{3}$时，四边形AMBN是矩形；作ME′⊥AB于E′，证明M与M′重合即可．
②结论：当BM=2$\sqrt{3}$时，四边形AMBN是菱形．理由同一法证明即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠NAB=∠ABM，
又∵∠AEN=∠BEM，AE=BE，
∴△AEN≌BEM，
∴NE=ME．
又∵AE=BE，
∴四边形AMBN是平行四边形；             

（2）解：①结论：当BM=3$\sqrt{3}$时，四边形AMBN是矩形；    
理由：作AM′⊥BC于M′．

在Rt△ABM′中，∵AB=6，∠ABM′=30°，
∴BM′=AB•cos30°=3$\sqrt{3}$，
∵BM=3$\sqrt{3}$，
∴M与M′重合，
∴∠AMB=90°，∵四边形AMBN是平行四边形，
∴四边形AMBN是矩形．
  
 ②结论：当BM=2$\sqrt{3}$时，四边形AMBN是菱形．
理由：作ME′⊥AB于E′，

在Rt△BME′中，∵BM=2$\sqrt{3}$，∠MBE′=30°，
∴BE′=BM•cos30°=3，
∵AB=6，
∴E′是AB中点，
∴E′与E重合，
∴AB⊥MN，∵四边形AMBN是平行四边形，
∴四边形AMBN是菱形．
故答案分别为3$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用同一法证明几何问题，属于中考常考题型．