Question

5．如图，半径为2的⊙E交x轴于A、B，交y轴于点C、D，直线CF交x轴负半轴于点F，连接EC．已知点E的坐标为（1，1），∠OFC=30°．
（1）求证：直线CF是⊙E的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）过点E作EG⊥y轴于点G，由三角函数求出∠ECG=30°，再求出∠FCE=90°，即可得出结论；
（2）连接AE，证出AE∥CF，得出四边形AECF是梯形，证出∠AEC=90°，由勾股定理求出CG，由含30角的直角三角形的性质得出OC、CF，图中阴影部分的面积=梯形AECF的面积-扇形ACE的面积，即可得出结果．

解答 解：（1）过点E作EG⊥y轴于点G，如图1所示：
∵点E的坐标为（1，1），
∴EG=1，在Rt△CEG中，sin∠ECG=$\frac{EG}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ECG=30°，
∵∠OFC=30°，∠FOC=90°，
∴∠OCF=180°-∠FOC-∠OFC=60°，
∴∠FCE=∠OCF+∠ECG=90°，
即CF⊥CE．∵CE是半径，
∴直线CF是⊙E的切线．               
（2）连接AE，作EH⊥AB于H，如图2所示：
同（1）得：∠EAH=30°，
∴∠OFC=∠EAH=30°，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是梯形，
∵CF⊥CE，
∴AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
在Rt△CEG中，CG=$\sqrt{CE^2-EG^2}$=$\sqrt{3}$，
∴OC=$\sqrt{3}$+1，
在Rt△OFC中，
∵∠OFC=30°，
∴$CF=2OC=2+2\sqrt{3}$，
∴图中阴影部分的面积=梯形AECF的面积-扇形ACE的面积=$\frac{1}{2}$（AE+CF）×CE-$\frac{90π×C{E}^{2}}{360}$=$\frac{1}{2}$（2+2+2$\sqrt{3}$）×2-$\frac{90π×{2}^{2}}{360}$=4+2$\sqrt{3}$-π．

点评 本题考查了切线的判定、坐标与图形性质、勾股定理、三角函数、含30角的直角三角形的性质、扇形面积的计算等知识；本题综合性强，难度适中．