Question

如图，抛物线y=-

3

8

x²-

3

4

x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）将已知函数解析式转化为两点式方程，则易求点A、B的坐标；
（2）先根据抛物线的解析式求出对称轴解析式，设直线AC与对称轴的交点为E，先求出直线AC的解析式，再取出点E的坐标，然后求出△ACB的面积，再根据三角形的面积求出DE的长度，然后分点D在点E的上方与下方两种情况写出点D的坐标即可．

解答：解：（1）∵y=-

3

8

x²-

3

4

x+3=-

3

8

（x+4）（x-2），
∴A（-4，0），B（2，0）；

（2）抛物线的对称轴为直线x=-

- 3 4

2×(- 3 8 )

=-1，
设直线AC与对称轴的交点为E，易求直线AC的解析式为y=

3

4

x+3，
x=-1时，y=-

3

4

+3=

9

4

，
AB=2-（-4）=6，OC=3，
△ACB的面积=

1

2

×6×3=9，
△ACD的面积=

1

2

DE•4=9，
解得DE=

9

2

，
点D在点E的上方时，点D的纵坐标为

9

4

+

9

2

=

27

4

，
点D在点E的下方时，点D的纵坐标为

9

4

-

9

2

=-

9

4

，
所以，点D的坐标为（-1，

27

4

）或（-1，-

9

4

）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，难点在于要分点D在AC的上方与下方两种情况讨论．