题目内容
当x＝2时，抛物线y＝ax2＋bx＋c取得最小值－1，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B．
（1）求该抛物线的关系式；
（2）若点M（x，y1），N（x＋1，y2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小；
（3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A、C两端点除外），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F．问：是否存在△DEF与△AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．
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解：（1）由题意可设抛物线的关系式为y＝a(x－2)2－1
因为点C（0，3）在抛物线上
所以3＝a(0－2)2－1，即a＝1
所以，抛物线的关系式为y＝(x－2)2－1＝x2－4 x＋3
（2）∵点M（x，y1），N（x＋1，y2）都在该抛物线上
∴y1－y2＝（x2－4 x＋3）－[(x＋1)2－4(x＋1)＋3]＝3－2 x
当3－2 x＞0，即
时，y1＞y2
当3－2 x＝0，即
时，y1＝y2
当3－2 x＜0，即
时，y1＜y2
（3）令y＝0，即x2－4 x＋3＝0，得点A（3,0），B（1,0），线段AC的中点为D（
,）
直线AC的函数关系式为y＝－x＋3
因为△OAC是等腰直角三角形，所以，要使△DEF与△OAC相似，△DEF也必须是等腰直角三角形．由于EF∥OC，因此∠DEF＝45°，所以，在△DEF中只可能以点D、F为直角顶点．
①当F为直角顶点时，DF⊥EF，此时△DEF∽△ACO，DF所在直线为
由
，解得
，
（舍去）
将代入y＝－x＋3，得点E（
，
）
②当D为直角顶点时，DF⊥AC，此时△DEF∽△OAC，由于点D为线段AC的中点，因此，DF所在直线过原点O，其关系式为y＝x．
解x2－4 x＋3＝x，得
，
（舍去）
将代入y＝－x＋3，得点E（
，
） …………12分
