Question

6．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的点，折痕分别为CE、AG．
（1）试说明四边形AECG是平行四边形；
（2）若矩形纸片中AB边长为3cm，则BC边长为何值时，四边形AECG是菱形？

Answer 1

分析 （1）因为对折，所以∠GAH=$\frac{1}{2}$∠DAC，∠ECF=$\frac{1}{2}$∠BCA，又∠GAH=∠ECF，可得AG∥CE，即可得出四边形AECG是平行四边形；
（2）由菱形的定义知可知F，H两点重合，可得出AC=2BC，由此可计算边BC的长．

解答 解：（1）由题意，得∠GAH=$\frac{1}{2}$∠DAC，∠ECF=$\frac{1}{2}$∠BCA，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠GAH=∠ECF，
∴AG∥CE，
又∵AE∥CG
∴四边形AECG是平行四边形；
（2）∵四边形AECG是菱形，
∴F、H重合，
∴AC=2BC，在Rt△ABC中，设BC=x，则AC=2x，
在Rt△ABC中AC²=AB²+BC²，
即（2x）²=3²+x²，
解得x=$\sqrt{3}$，
答：BC边长为$\sqrt{3}$时，四边形AECG是菱形．

点评 本题考查的是翻折变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．