Question

13．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给下以下结论：
①2a-b=0；
②abc＞0；
③4ac-b²＜0；
④9a+3b+c＜0；
⑤关于x的一元二次方程ax²+bx+c+3=0有两个相等实数根；
⑥8a+c＜0．
其中正确的个数是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根据图象的对称轴可判断①，根据图象的开口方向、对称轴，抛物线与y轴的交点可判断②，根据图象有两个交点，可判断③，根据函数的对称性，可判断④，根据抛物线的最值，可判断⑤，根据图象当x=-2时y＞0和b=-2a即可判断⑥．

解答 解：①抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=1，b=-2a，
所以2a+b=0，故①错误；
②抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$＞0故b＜0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；所以abc＞0；故②正确；
③由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b²-4ac＞0，∴4ac-b²＜0，故③正确；
④根据抛物线的对称轴方程可知：（-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；
当x=-1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故④正确；
⑤二次函数y=ax²+bx+c的最小值为-3，所以关于x的一元二次方程ax²+bx+c+3=0有两个相等的实数根，故⑤正确；
⑥由图知：当x=-2时y＞0，所以4a-2b+c＞0，因为b=-2a，所以4a+4a+c＞0，即8a+c＞0，故⑥错误；
所以这结论正确的有②③④⑤4个．
故选C．

点评 本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．