Question

17．小明在解方程$\sqrt{24-x}$-$\sqrt{8-x}$=2时采用了下面的方法：由
（$\sqrt{24-x}$-$\sqrt{8-x}$）（$\sqrt{24-x}$+$\sqrt{8-x}$）=（$\sqrt{24-x}$）²-（$\sqrt{8-x}$）²=（24-x）-（8-x）=16，
又有$\sqrt{24-x}$-$\sqrt{8-x}$=2，可得$\sqrt{24-x}$+$\sqrt{8-x}$=8，将这两式相加可得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{24-x}=5}\\{\sqrt{8-x}=3}\end{array}\right.$，将$\sqrt{24-x}$=5两边平方可解得x=-1，经检验x=-1是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下面的方程：
（1）方程$\sqrt{{x^2}+42}+\sqrt{{x^2}+10}=16$的解是x=±$\sqrt{39}$；
（2）解方程$\sqrt{4{x}^{2}+6x-5}$+$\sqrt{4{x}^{2}-2x-5}$=4x．

Answer 1

分析 （1）首先把根式$\sqrt{{x}^{2}+42}+\sqrt{{x}^{2}+10}$有理化，然后分别求出根式$\sqrt{{x}^{2}+42}+\sqrt{{x}^{2}+10}$和它的有理化因式的值是多少；再根据求出的根式$\sqrt{{x}^{2}+42}+\sqrt{{x}^{2}+10}$和它的有理化因式的值，求出方程$\sqrt{{x^2}+42}+\sqrt{{x^2}+10}=16$的解是多少即可；
（2）首先把根式$\sqrt{4{x}^{2}+6x-5}$+$\sqrt{4{x}^{2}-2x-5}$有理化，然后分别求出根式$\sqrt{4{x}^{2}+6x-5}$+$\sqrt{4{x}^{2}-2x-5}$和它的有理化因式的值是多少；再根据求出的根式$\sqrt{4{x}^{2}+6x-5}$+$\sqrt{4{x}^{2}-2x-5}$和它的有理化因式的值，求出方程$\sqrt{4{x}^{2}+6x-5}$+$\sqrt{4{x}^{2}-2x-5}$=4x的解是多少即可．

解答 解：（1）（$\sqrt{{x}^{2}+42}+\sqrt{{x}^{2}+10}$）（$\sqrt{{x}^{2}+42}$-$\sqrt{{x}^{2}+10}$）
=${（\sqrt{{x}^{2}+42}）}^{2}$-${（\sqrt{{x}^{2}+10}）}^{2}$
=（x²+42）-（x²+10）
=32
∵$\sqrt{{x^2}+42}+\sqrt{{x^2}+10}=16$，
∴$\sqrt{{x}^{2}+42}$-$\sqrt{{x}^{2}+10}$=32÷16=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{x}^{2}+42}=9}\\{\sqrt{{x}^{2}+10}=7}\end{array}\right.$
∵${（\sqrt{{x}^{2}+42}）}^{2}{=x}^{2}+42$=9²=81，
∴x=±$\sqrt{39}$，
经检验x=±$\sqrt{39}$都是原方程的解，
∴方程$\sqrt{{x^2}+42}+\sqrt{{x^2}+10}=16$的解是：x=±$\sqrt{39}$；

（2）（$\sqrt{4{x}^{2}+6x-5}$+$\sqrt{4{x}^{2}-2x-5}$）（$\sqrt{4{x}^{2}+6x-5}$-$\sqrt{4{x}^{2}-2x-5}$）
=${（\sqrt{{4x}^{2}+6x-5}）}^{2}$${-（\sqrt{{4x}^{2}-2x-5}）}^{2}$
=（4x²+6x-5）-（4x²-2x-5）
=8x
∵$\sqrt{4{x}^{2}+6x-5}$+$\sqrt{4{x}^{2}-2x-5}$=4x，
∴$\sqrt{4{x}^{2}+6x-5}$-$\sqrt{4{x}^{2}-2x-5}$=8x÷4x=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{4x}^{2}+6x-5}=2x+1}\\{\sqrt{{4x}^{2}-2x-5}=2x-1}\end{array}\right.$，
∵${（\sqrt{{4x}^{2}+6x-5}）}^{2}{=（2x+1）}^{2}$，
∴4x²+6x-5=4x²+4x+1，
∴2x=6，
解得x=3，
经检验x=3是原方程的解，
∴方程$\sqrt{4{x}^{2}+6x-5}$+$\sqrt{4{x}^{2}-2x-5}$=4x的解是：x=3．
故答案为：x=±$\sqrt{39}$．

点评 此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是在解决实际问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法．