Question

8．问题探究：如图①，四边形 ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，求证：△ABE≌△CBF；
方法拓展：如图②，ABCD是矩形，BC=2AB，BF⊥BE，BF=2BE，若矩形ABCD的面积为40，△ABE的面积为4，求阴影部分图形的面积．

Answer 1

分析 （1）根据两边夹角对应相等的两个三角形全等即可证明．
（2）首先证明△ABE∽△CBF，求出△BFC的面积，根据S_{阴影部分图形}=S_矩形ABCD-S_△ABE+S_△CBF计算即可．

解答 问题探究：
证明：如图①中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵BE⊥BF，BE=BF，
∴∠ABC=∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBF}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF，

方法拓展：
解：如图②中，

∵BC=2AB，BF=2BE，
∴$\frac{AB}{CB}=\frac{BE}{BF}=\frac{1}{2}$，
∵∠ABE=∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，
$\frac{{{S_{△ABE}}}}{{{S_{△CBF}}}}={（\frac{AB}{CB}）^2}=\frac{1}{4}$，
∵S_△ABE=4，
∴S_△CBF=16，
∴S_{阴影部分图形}=S_矩形ABCD-S_△ABE+S_△CBF=40-4+16=52．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质．全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形或相似三角形的判定，学会利用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．