Question

13．如图，△ABD内接于⊙O，AB=AD，点C在BD上，点F在AC上．
（1）求证：AO平分∠BAD；
（2）若∠BAD=2∠DFC，求证：CD⊥DF．

Answer 1

分析 （1）延长AO交⊙O于M，交BD于N，则AM为⊙O的直径，由AB=AD，得出$\widehat{AB}=\widehat{AD}$，由垂径定理的推论得出AN⊥BD，$\widehat{BM}=\widehat{DM}$，得出∠BAO=∠DAO即可；
（2）由（1）得：AN⊥BD，得出∠ADB+∠DAO=90°，由$\widehat{AB}=\widehat{AD}$，得出∠ADB=∠C，再由已知条件证出∠C+∠DFC=90°，得出∠CDF=90°即可．

解答 （1）证明：延长AO交⊙O于M，交BD于N，如图所示：
则AM为⊙O的直径，
∵AB=AD，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AD}$，
由垂径定理的推论得：AN⊥BD，$\widehat{BM}=\widehat{DM}$，
∴∠BAO=∠DAO，
即AO平分∠BAD；
（2）证明：由（1）得：AN⊥BD，
∴∠AND=90°，
∴∠ADB+∠DAO=90°，
∵AB=AD，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AD}$，
∴∠ADB=∠C，
∴∠C+∠DAO=90°，
∵∠BAD=2∠DFC，∠BAO=∠DAO，
∴∠DFC=∠DAO，
∴∠C+∠DFC=90°，
∴∠CDF=90°，
∴CD⊥DF．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理、垂径定理的推论等知识；本题综合性强，难度适中，运用垂径定理的推论得出弧相等是解决问题的关键．