Question

如图，AB是⊙O的直径，C是

BD

的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，
（1）求证：CF=BF；
（2）若CD=12，AC=16，求⊙O的半径和CE的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：

分析：（1）由AB是⊙O的直径，CE⊥AB，易得∠2=∠A，又由C是

BD

的中点，可得∠1=∠A，即可得∠1=∠2，判定CF=BF；
（2）由C是

BD

的中点，可得BC=CD=12，又由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，即可求得AB的长，然后由三角的面积，求得CE的长．

解答：解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠2=90°-∠ABC=∠A，
又∵C是弧BD的中点，
∴∠1=∠A，
∴∠1=∠2，
∴CF=BF；

（2）∵C是弧BD的中点，
∴

BC

=

CD

，
∴BC=CD=12，
又∵在Rt△ABC中，AC=16，
∴由勾股定理可得：AB=20，
∴⊙O的半径为10，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CE，
∴CE=

AC•BC

AB

=9.6．

点评：此题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．