Question

20．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（-1，-2），抛物线F：y=x²-2mx+m²-2与直线x=-2交于点P．
（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；
（2）抛物线F上有两点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），若-2≤x₁＜x₂，y₁＜y₂，求m的取值范围；
（3）设点P的纵坐标为y_P，求y_P的最小值，此时抛物线F上有两点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），若x₁＜x₂≤-2，比较y₁与y₂的大小；
（4）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将点C的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（2）先求得抛物线的对称轴，然后依据二次函数的增减性进行判断即可；
（3）将x=-2代入抛物线的解析式得${y_P}=4+4m+{m^2}-2$，然后由py有最小值可求得m的值，然后依据二次函数的性质求解即可；
（4）先求得当x=0，x=2时对应的y值，然后依据抛物线与AB有交点可知此时抛物线上对应两点的纵坐标一个大于2，一个小于2，然后列不等式组求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线F经过点C（-1，-2），
∴-2=1+2m+m²-2．
∴m=-1．
∴抛物线F的表达式是y=x²+2x-1．
（2）抛物线F的对称轴为：直线x=m，
当x≥m时，y随x的增大而增大；．
点M、N均在直线x=-2的右侧，
∴直线x=-2必须在直线x=m右侧或与之重合．
∴m≤-2．
（3）当x=-2时，${y_P}=4+4m+{m^2}-2$=（m+2）²-2．
∴当m=-2时，y_P的最小值=-2．
此时抛物线F的表达式是y=（x+2）²-2．
∴当x≤-2时，y随x的增大而减小．
∵x₁＜x₂≤-2，
∴y₁＞y₂．
（4）∵y=（x-m）²-2，
∴抛物线的顶点在直线y=-2上．
当x=0时，y=m²-2．
当x=2时，y=m²-4m+2．
∵抛物线与线段AB有交点，
∴（m²-4）（m²-4m）＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-4＞0}\\{{m}^{2}-4m＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-4＜0}\\{{m}^{2}-4m＞0}\end{array}\right.$，
解得：-2≤m≤0或2≤m≤4．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质、配方法求二次函数的最值，依据抛物线与AB有交点列出关于m的不等式组是解题的关键．